Ο Μίμης Πλέσσας γεννήθηκε στην Αθήνα. Φοίτησε στο Λεόντειο Λύκειο και στη συνέχεια σπούδασε Χημεία στη Φυσικομαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών. Πήγε στις ΗΠΑ για συνέχιση των σπουδών του. Σε μικρή ηλικία έγινε ο πρώτος σολίστ πιάνου στο Εθνικό Ίδρυμα Ραδιοφωνίας. Το 1952, σε ηλικία 28 ετών, τιμήθηκε με το πρώτο βραβείο μουσικής του Πανεπιστημίου της Μινεσότα και την επόμενη χρονιά κατετάγη πέμπτος πιανίστας στις ΗΠΑ. Το 1952 άρχισε την ενασχόληση του με τη σύνθεση και από το 1956 ως μαέστρος και συνθέτης.
Η καλλιτεχνική και συνθετική του δραστηριότητα κάλυπτε όλους τους τομείς της μουσικής, στο θέατρο, τον κινηματογράφο, το ραδιόφωνο και την τηλεόραση. Συνεργάστηκε με πληθώρα κορυφαίων τραγουδιστών, πολλούς από τους οποίους ανέδειξε με τα τραγούδια του.
Ασχολήθηκε επίσης με τη σύνθεση μουσικής για ταινίες και θεατρικές παραστάσεις, έχοντας στο ενεργητικό του 104 ταινίες και 70 παραστάσεις. Έγραψε επίσης τη μουσική και τα τραγούδια για την τηλεοπτική σειρά «Τα παιδιά της Νιόβης».
Κατά τη διάρκεια της τεράστιας καριέρας του διηύθυνε πολλές από τις μεγαλύτερες ορχήστρες στον κόσμο, σε έργα του και διακρίθηκε αφενός για τη θεατρική του προσφορά στο Παρίσι το 1958 και για την κινηματογραφική του στο Εδιμβούργο και τις ΗΠΑ το 1964 και 1965 αντίστοιχα. Αυτών ακολούθησαν πάμπολλες διακρίσεις ελληνικές και ξένες.
Ο Μίμης Πλέσσας υπήρξε ο παραγωγός της ιστορικής ραδιοφωνικής εκπομπής «Σε 30 δευτερόλεπτα» που ήταν μια εκπομπή βράβευσης γνώσεων με διάφορα δώρα (ραδιόφωνα και βιβλία), στη δεκαετία του 1960 – 1970. Συμμετείχε σε πλείστες διεθνείς και ελληνικές επιτροπές κρίσης καλλιτεχνικών γεγονότων.
Ήταν μέλος της Ελληνικής Εταιρίας Θεατρικών Συγγραφέων, της Εταιρίας Μουσικοσυνθετών Στιχουργών Ελλάδος, της ΕΡΓΗΜ (σύγχρονης μουσικής) και πολλών άλλων καλλιτεχνικών συλλόγων. Επίσης, ομιλεί αγγλικά και γαλλικά και είναι μόνιμος κάτοικος της Αθήνας. Από τις 4 Ιανουαρίου 1986 έως τις 20 Ιουλίου 1988 ήταν συμπαρουσιαστής μαζί με τον Κώστα Φέρρη και τον Βασίλη Τσιβιλίκα της εκπομπής της ΕΡΤ Καλλιτεχνικό καφενείο, όπου καλούνταν διάφορες προσωπικότητες του καλλιτεχνικού και κοινωνικού χώρου και μοιράζονταν ιστορίες από το πώς ξεκίνησαν και τη ζωή τους γενικότερα. Ο Μίμης Πλέσσας με το άριστο παίξιμο του πιάνου συνόδευε συνήθως τους τραγουδιστές που ψυχαγωγούσαν τον καφενέ. Αυτή η εκπομπή είχε ιδιαίτερη επιτυχία.
Το 2010 αναγορεύθηκε επίτιμος διδάκτωρ του Τμήματος Χημείας του Πανεπιστημίου Πατρών ενώ ήταν διδάκτωρ Χημείας του Πανεπιστημίου Κορνέλ των ΗΠΑ.
Το 2016 ο Μίμης Πλέσσας, με αφορμή την επέτειο 50 χρόνων από την εμφάνισή του στη δισκογραφία με τον δίσκο Ραντεβού στον αέρα για την ομώνυμη ταινία του Γιάννη Δαλιανίδη, παρουσίασε το τελευταίο πλήρες έργο του Διάφανος σταυρός με ερμηνευτή τον Θάνο Ολύμπιο. Ο δίσκος τους έγινε πλατινένιος.
Ήταν παντρεμένος με τη Λουκίλα Καρρέρ, με την οποία απέκτησε μια κόρη το 1998. Είχε αποκτήσει κι έναν γιο από προηγούμενο γάμο του, τον μουσικοσυνθέτη Αντώνη Πλέσσα.